10 分证明题保姆级教程——线性归结法，看一遍就会

10 分证明题保姆级教程——线性归结法，看一遍就会

这道题看起来符号很多很吓人，其实就干一件事：找矛盾。下面我一步一步带着你走，保证你看完就会做。

一、先看题目长什么样

题目给了 4 个公式，最后让你证明它们能推出结论 B。

这 4 个公式里有一堆符号：∀（所有）、∃（存在）、→（如果...那么）、∧（且）、∨（或）、¬（非）。

别慌！这些符号只是"包装纸"，拆开看就是人话。

二、做题就两步

不管题目多复杂，归结法证明题就只有两步：

第一步：翻译——把题目里的公式翻译成"子句"（一种标准格式）

第二步：消消乐——像玩消消乐一样，两个子句里一正一反的配对消掉，直到消出"矛盾"

下面一步一步来。

三、第一步：翻译（写子句集）

翻译规则（记住这 3 条就够了）

规则 1："如果 P 那么 Q" 变成 "非P 或 Q"

比如："如果下雨那么地湿" 变成 "不下雨 或 地湿"

规则 2："存在一个 x" 用一个具体的名字代替

比如题目说"存在某个 x"，我们就用字母 a 来代表它。

规则 3："存在一个 y，但 y 跟着 x 变" 用一个函数代替

比如用 f(x) 表示"跟着 x 变化的那个 y"。

开始翻译

翻译 A1

原公式：对所有 x，(D(x) 且 非E(x)) → 存在 y，(F(x,y) 且 H(y))

第 1 小步：消掉"如果...那么..."

→ 变成"非...或..."

得到：对所有 x，非(D(x) 且 非E(x)) 或 存在 y，(F(x,y) 且 H(y))

第 2 小步：把"非(A 且 B)"拆开

→ 变成"非A 或 B"

得到：对所有 x，(非D(x) 或 E(x)) 或 存在 y，(F(x,y) 且 H(y))

第 3 小步：处理"存在 y"

→ y 跟着 x 变，用 f(x) 代替 y

→ 把"且"拆开，变成两个独立句子

得到两个子句：

子句 1：非D(x) 或 E(x) 或 F(x, f(x))

子句 2：非D(x) 或 E(x) 或 H(f(x))

翻译 A2

原公式：存在 x，D(x) 且 G(x) 且 对所有 y，(F(x,y) → G(y))

第 1 小步："存在 x"用 a 代替

第 2 小步：把"如果...那么..."消掉

→ F(x,y) → G(y) 变成 非F(x,y) 或 G(y)

第 3 小步：把"且"拆开

得到三个子句：

子句 3：D(a)

子句 4：G(a)

子句 5：非F(a, y) 或 G(y)

翻译 A3

原公式：对所有 x，非E(x) 或 非G(x)

→ 已经是子句了，不用翻译

子句 6：非E(x) 或 非G(x)

翻译结论的否定

结论 B：存在 x，H(x) 且 G(x)

我们要假设结论是错的，所以对 B 取反：

→ 对所有 x，不是(H(x) 且 G(x))

→ 用德摩根拆开：对所有 x，非H(x) 或 非G(x)

子句 7：非H(z) 或 非G(z)

7 个子句总览（写在这，后面要用）

编号 子句 哪里来的1 非D(x) 或 E(x) 或 F(x, f(x)) A1

2 非D(x) 或 E(x) 或 H(f(x)) A1

3 D(a) A2

4 G(a) A2

5 非F(a, y) 或 G(y) A2

6 非E(x) 或 非G(x) A3

7 非H(z) 或 非G(z) 结论取反

四、第二步：消消乐（归结推理）

消消乐的规则（超简单）

找两个子句：

一个里面有 P

另一个里面有 非P

把它们消掉，剩下的内容拼起来，就是一个新子句。

就像解方程：x + 3 = 5 和 -x + 2 = 1，把 x 和 -x 消掉。

开始消！

我们从子句 7（结论的反面）开始，一步步消：

第 1 步

子句 7： 非H(z) 或 非G(z)

子句 2： 非D(x) 或 E(x) 或 H(f(x))

找配对：子句 7 有"非H"，子句 2 有"H"。消掉！

让 z = f(x)，剩下的拼起来：

→ 得到：非D(x) 或 E(x) 或 非G(f(x))

第 2 步

上一步得到： 非D(x) 或 E(x) 或 非G(f(x))

子句 6： 非E(x) 或 非G(x)

找配对：一个有"E(x)"，一个有"非E(x)"。消掉！

剩下的拼起来：

→ 得到：非D(x) 或 非G(f(x)) 或 非G(x)

第 3 步

上一步得到： 非D(x) 或 非G(f(x)) 或 非G(x)

子句 3： D(a)

找配对：一个有"非D"，一个有"D"。消掉！

让 x = a，剩下的拼起来：

→ 得到：非G(f(a)) 或 非G(a)

第 4 步

上一步得到： 非G(f(a)) 或 非G(a)

子句 4： G(a)

找配对：一个有"非G(a)"，一个有"G(a)"。消掉！

剩下的：

→ 得到：非G(f(a))

第 5 步

上一步得到： 非G(f(a))

子句 5： 非F(a, y) 或 G(y)

找配对：一个有"非G"，一个有"G"。消掉！

让 y = f(a)，剩下的：

→ 得到：非F(a, f(a))

第 6 步

上一步得到： 非F(a, f(a))

子句 1： 非D(x) 或 E(x) 或 F(x, f(x))

找配对：一个有"非F"，一个有"F"。消掉！

让 x = a（此时 f(x) = f(a)），剩下的：

→ 得到：非D(a) 或 E(a)

第 7 步

上一步得到： 非D(a) 或 E(a)

子句 3： D(a)

找配对：一个有"非D(a)"，一个有"D(a)"。消掉！

剩下的：

→ 得到：E(a)

第 8 步

上一步得到： E(a)

子句 6： 非E(x) 或 非G(x)

找配对：一个有"E(a)"，一个有"非E"。消掉！

让 x = a，剩下的：

→ 得到：非G(a)

第 9 步

上一步得到： 非G(a)

子句 4： G(a)

找配对：一个有"非G(a)"，一个有"G(a)"。消掉！

什么都没了 = 矛盾！

五、写答案（考试就这么写）

证明：

假设结论不成立，即 ¬B：对所有 z，非H(z) 或 非G(z)

将前提化为子句集：

(1) 非D(x)∨E(x)∨F(x,f(x))

(2) 非D(x)∨E(x)∨H(f(x))

(3) D(a)

(4) G(a)

(5) 非F(a,y)∨G(y)

(6) 非E(x)∨非G(x)

(7) 非H(z)∨非G(z) （¬B）

归结过程：

(8) 非D(x)∨E(x)∨非G(f(x)) （(7)(2) 归结，消 H）

(9) 非D(x)∨非G(f(x))∨非G(x) （(8)(6) 归结，消 E）

(10) 非G(f(a))∨非G(a) （(9)(3) 归结，消 D）

(11) 非G(f(a)) （(10)(4) 归结，消 G(a)）

(12) 非F(a,f(a)) （(11)(5) 归结，消 G）

(13) 非D(a)∨E(a) （(12)(1) 归结，消 F）

(14) E(a) （(13)(3) 归结，消 D(a)）

(15) 非G(a) （(14)(6) 归结，消 E）

(16) NIL（空子句） （(15)(4) 归结，消 G(a)）

推出矛盾，假设不成立，原命题得证。证毕。

六、记住一句话

归结法 = 翻译 + 消消乐 + 推出矛盾 = 证完了。

考试时就写：先写 7 个子句，再写 9 步归结，最后写"推出矛盾，证毕"。10 分到手。

有不会的题直接发给我，我来给你拆解。

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